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教学内容：人教版实验教材四年级上册第77页。
教学目标：1、动手操作将长方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯带。
2、引导学生认识莫比乌斯带的特点和奇异性质。
3、培养学生大胆猜想、细心求证的精神。
4、在莫比乌斯带变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野。进一步激发学生学习数学的兴趣，并获得成功的体验。
教学重点：会制作一个神奇的莫比乌斯带；引导学生发现认识莫比乌斯带的特点和奇异性质。
教学难点：莫比乌斯带面和边个数的验证。
教学具准备：长方形纸条若干、剪刀、胶水、水彩笔。
教学过程：
课前谈话：老师给大家讲个故事（课件出示故事情节），你知道他是怎么做到的吗？今天我们就来学习这方面的知识。
一、创设情境，导入新课。
1、变魔术
教师出示一张白纸条，并让学生拿出自己的长方形纸条，问：这张纸条有几条边？几个面？
生：四条边，两个面。
教师拿着纸条，边比划边说：一个正面，一个反面。
师：现在我能变魔术，把它变得只有两条边，两个面。你会吗？
让学生尝试操作，教师展示将纸条变成纸圈。问：是不是两条边，两个面？
生：是。
师：你会吗？
生：会！（学生都尝试做成纸圈）
师：这样大家都会做，老师还能把它变成一条边、一个面。你会吗？
教师激发学生的学习兴趣，学生都在自主尝试操作。师：非常好，有同学在大胆尝试，太棒了！
教师把纸条放在背后操作，做成莫比乌斯带，然后展示莫比乌斯圈。
师：想想吧，是怎么做的？
2、做纸圈
教师让学生尝试做成纸圈，鼓励同桌互助完成，然后举起作品展示。
师：可以这样做（演示：将长方形纸条一端翻转拧成°以后再首尾相连），再用胶水粘牢。
让全班同学都完成莫比乌斯圈的制作，教师巡视指导操作，并集体展示。
师：大家看自己的纸圈，想一想，是不是一条边、一个面？怎样检验呢？
学生思考、尝试，猜测结果：用手指沿着纸条的边和面各走了一圈。
师：我们一起动手检验。拿出水彩笔，在纸圈的中间画一条线，看看它是不是一个面。
教师展示，然后让学生也在自己的纸圈上画一条线。
生：真是一个面！
师：像这样没有里面和外面之分，只有一个面的，在数学上叫做单侧曲面（板书：单侧曲面）。
问：那么普通的纸圈有里外之分就叫？
生：双侧曲面。（教师板书：双侧曲面）
3、导课题
师：这样的怪怪的纸圈叫什么呢？有人知道吗？
生：莫比乌斯圈。
（教师导入并板书课题莫比乌斯圈）。问：你是怎么知道的？
学生尝试回答。师：我来告诉大家，德国有一位数学家叫莫比乌斯，于年一个偶然的机会，他发现了这样一个奇妙的纸圈。所以，人们将它叫莫比乌斯圈。
二、自主探究，细心求证。
1、沿二分之一线剪
教师在莫比乌斯圈上沿着刚才画的那条线剪开，示范剪一段。
师：大家别忙着动剪子，想一想，我们沿着中间这条线剪开纸圈，结果会是怎样呢？
学生猜测，教师鼓励引导。师：我们应该大胆猜想。（板书：大胆猜想）
生1：会变成两个圈。
生2：会变成两个莫比乌斯圈。
生3：会不会变成三个圈。
师：要知道结果，怎么办？
生：剪一剪就知道了。
师：对，我们只要剪一下就能知道结果。
教师组织全班学生动手剪，完成后集体汇报。
生：不是两个圈，它还是连在一起的；……
问：是一个圈还是两个圈？（一个）
师：剪开后的这个圈中间有点扭起来了。我们通常会认为，剪开后会是两个圈，怎么不是呢？为什么呢？
生1：因为莫比乌斯圈有一条边，一个面，剪开以后还是整的，是一个大圈。
生2：因为是粘着的，我觉得剪完还是一个整体。
师：很好的回答！大家都可以猜想，究竟是为什么？你可以继续研究。
教师板书细心求证。师：科学的进步，需要细致的验证！大家仔细地观察（教师出示剪成的大圈），它还像刚才一样，只有一个面吗？
生：应该是一个面。
师：这是我们以为的，要知道准确的结果，怎么办？
生：用笔画线。
师：请拿起笔，在纸带中间画线，再看看是一个面还是两个面？
学生回答（1个）后，教师继续提问：两个面是不是都被画上了线？
生：不是，只画了一面，另一面没画。
问：这个纸圈是单侧曲面吗？（不是）
师：对，现在是双侧曲面。我们在想数学问题时，不能想当然，要动手做一做，细心地求证。现在纸圈中间又画了一条线，如果再沿着这条线剪开，结果是怎样呢？
生：还是一个圈；两个圈；……
师：实践出真知！大家剪一剪就知道了。
师生一起动手剪一剪，完成后汇报。生：是两个套着的圈。
师：这次有同学猜对了，真的是两个圈，但是它们是套在一起的。现在，你有什么想法？
生：还能剪；为什么是套在一起的；其它想法。
师：这样的纸圈很奇妙，值得我们去探究。
2、沿三分之一线剪
教师组织学生拿出三等分的长方形纸条，把它再圈成一个莫比乌斯圈。问：能沿着线把这个莫比乌斯圈剪开吗？（能）
沿三分之一线剪师：如果沿着三等分线把这个莫比乌斯圈剪开的话，需要几次？
生：两次。
师：剪完以后会是什么样子呢？
生：一个圈；两个圈套在一起；三个圈套在一起。
师：这些都是我们的猜测，那结果究竟是怎样的，我们还是剪一剪吧！
教师组织学生动手剪，完成后集体汇报。生：剪一次就可以了。
师：明明是两条线，怎么剪一次就可以了？剪成了几个圈？
生：两个；一个大圈套着一个小圈。
师：两个圈有区别吗？
学生用前面的方法画线验证，得出：小圈是单侧曲面（莫比乌斯圈），大圈是双侧曲面。
3、其它剪法
师：刚才我们将一根普通的纸条拧、粘、剪（板书：拧、粘、剪），感受到莫比乌斯圈的神奇。下面，请发挥你的聪明才智，拿出另一张长方形纸条，自己设计制作。
提示：①刚才我们拧了°，还可以拧成多少度？②刚才我们沿二分之一、三分之一线剪，能不能沿四分之一、五分之一线剪呢？
要求：完成后要求汇报自己的创意。
组织学生独立尝试操作，教师巡视指导；让学生同桌相互交流、欣赏，说说是怎么做的、怎么翻转、怎么剪开的；最后选择1-2个有代表性的作品上台展示。
说明：把纸条一端旋转°的奇数倍做的圈是单侧曲面，而旋转°的偶数倍做成的圈是双侧曲面。
师：真了不起！我们不但动手做，还动脑筋思考，我们探索的规律是否正确，还需要实验求证，并且从理论上去证明。课后，大家可以继续探究。现在来为我们的精彩表演鼓掌吧！
三、联系生活，拓展应用。
1、联系生活实例
问：莫比乌斯带的神奇，你在生活中见过吗？
学生回忆，举例说明。
2、常见应用（课件演示）
⑴莫比乌斯爬梯
⑵过山车（跑道采用的就是莫比乌斯原理）
⑶三叶扭结(中国科技馆的标志性物体，由莫比乌斯带演变而成的)
⑷阅读故事（课前导入）
有一个小偷偷了一位老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是，在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉；而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从应当二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。
教师出示纸条：小偷应当放掉；农民应当关押。然后现场演示将纸条做成莫比乌斯圈。
师：通过今天的学习，大家应该知道执事官是怎么做的。（教师边演示边读应当放掉农民，应当关押小偷）
四、课堂回顾，情感升华。
师：这节课快结束了，你有什么收获或遗憾？
生：知道了莫比乌斯带；一条边、一个面；……
师：同学们，大家对莫比乌斯圈可能还有许多疑问，还有很多为什么没解答，我想告诉大家，数学中有一门专门研究莫比乌斯圈的学问，叫做拓扑学（板书：拓扑学）。以后，有兴趣的同学，可以继续去学习和研究。
五、板书设计
五、拓展应用
请观察一下，生活中是否还有这种应用？
